Mathematische Exkursionen: Gödel, Escher und andere Spiele by Manfred Dobrowolski

By Manfred Dobrowolski

Anhand spannender Beispiele aus dem Alltag werden die für das Studium der Mathematik erforderlichen Fertigkeiten vermittelt und ein Überblick über verschiedene Teilgebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen gegeben. Ausgehend von nur geringen Vorkenntnissen – wie sie in der Oberstufe eines Gymnasiums vermittelt werden – behandelt das Buch Themen der modernen Mathematik, die einen hohen ästhetischen und intellektuellen Reiz besitzen oder das heutige Weltbild mitprägen. Zu Ersterem gehört das Werk von M.C. Escher, dessen Parkette ausführlich analysiert werden, sowie die mathematische Theorie der Spiele in all ihren Erscheinungsformen wie strategischen Spielen und Glücksspielen. Die das Weltbild mitprägende Mathematik ist vertreten durch die Untersuchung unendlicher Mengen, die Arbeiten von Gödel und Turing über Logik und Berechenbarkeit sowie die examine von Chaos und Fraktalen. Ziel ist stets die Aufdeckung der zugrunde liegenden mathematischen Mechanismen. Dem ist auch ein eigenes Kapitel gewidmet, in dem Strategien zur Lösung mathematischer Aufgaben vorgestellt werden. Jedes Kapitel enthält Übungsaufgaben, die am Ende des Buches vollständig gelöst werden.

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Das Party-Problem ist damit ¨ aquivalent zu folgendem Problem. Bestimme eine Zahl R = R(k, l), so dass der vollst¨ andige Graph KR bei jeder Rot-Gr¨ un-F¨arbung einen alt, der nur aus roten Kanten besteht oder einen Graphen Kl mit Graphen Kk enth¨ ausschließlich gr¨ unen Kanten. Die Farben stehen also f¨ ur die Beziehungen sich kennen“ ” oder sich nicht kennen“ im Partyproblem. ” rot grün Abb. 11: Zur Bestimmung von R(3, 3) Nun wollen wir R(3, 3) bestimmen. Klar, dass K3 oder K4 daf¨ ur nicht ausreichen.

10: Beispiel zum Problem des minimalen spannenden Baums Das Problem des minimalen spannenden Baums kann dagegen mit dem Greedy-Algorithmus gel¨ ost werden, der in diesem Zusammenhang Kruskal-Algorithmus heißt. 4 Ramsey-Zahlen 29 tiert. Man setzt E = ∅ und baut die Menge E sukzessive auf, indem die Kanten aus ugt werden. Kanten werden u der Liste der Menge E hinzugef¨ ¨ bergangen, wenn sie mit den Kanten in E einen Kreis bilden. 10 werden die Kanten mit den Gewichten 1,2,3 genommen. Als N¨ achstes steht die Kante mit dem Gewicht 4 auf der Liste, die jedoch mit 2 und 3 einen Kreis bildet und daher u ¨ bergangen wird.

Einen solchen minimalen spannenden Baum kann man u ¨berraschend einfach mit dem Greedy-Algorithmus finden. Greedy heißt gierig oder gefr¨aßig. Jeder Leser d¨ urfte den Greedy-Algorithmus beim Kofferpacken verwendet haben. In diesem Fall hat man verschiedene Gegenst¨ ande, die man unter der Bedingung in einen Koffer packen m¨ochte, dass sie hineinpassen oder ein vorgegebenes Gewicht nicht u ¨berschreiten. Dazu sortiert man die Gegenst¨ ande nach Gr¨ oße (oder nach Gewicht). Beginnend mit dem gr¨oßten Gegenstand wird der Koffer sukzessive gef¨ ullt.

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