Introduction à l'analyse et à la commande des systèmes non by Philippe Müllhaupt

By Philippe Müllhaupt

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Example text

7 Exemple : dynamique de populations Pour illustrer les concepts introduits dans ce chapitre, nous pr´esentons deux exemples tr`es simplifi´es de dynamique de populations. Nous envisageons a la fois les mod`eles math´ematiques de deux esp`eces en comp´etition pour une ` ressource unique, ainsi que la dynamique pr´edateur-proie, o` u deux esp`eces distinctes s’affrontent, l’une jouant le rˆole de proie, et l’autre celui de pr´edateur. -`a-d. le nombre d’individus par unit´e d’aire, est repr´esent´ee par une variable unique, la diff´erence d’age de sexe et de g´enotype sont ignor´es.

Toutefois, la notion de syst`eme en boucle ferm´ee n’a pas ´et´e mentionn´ee de mani`ere explicite. En effet, x˙ = f (x) pouvait `a la fois repr´esenter un syst`eme en tant que tel, ou provenir de l’association en boucle ferm´ee de deux syst`emes interconnect´es entre eux. Par exemple, w˙ = g1 (w, u) et z˙ = g2 (z) avec dim u = dim z donnent lieu lorsque u = z `a un syst`eme x˙ = f (x) avec T x = wT z T . Nous allons rendre ainsi la pr´esence d’une telle configuration en boucle ferm´ee plus explicite dans le cours du pr´esent chapitre.

5 Index 23 1. point selle (S) 2. noeud (N) 3. foyer (N) 4. centre (N) en fonction des valeurs propres de A conform´ement `a l’´etude des syst`emes lin´eaires planaires. 4 d´etermine l’index d’un point particulier de l’espace de phase. De mani`ere analogue, il est possible de d´efinir un index pour une courbe quelconque. 9. L’index d’une courbe est obtenu de mani`ere analogue a ` celle de l’index d’un point du plan de phase. Seul la restriction a ` une courbe comprise dans un disque de taille suffisamment petite est relax´ee.

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