Grundzüge der Theoretischen Logik by D. Hilbert, W. Ackermann (auth.)

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Wir unterscheiden zwischen logischen Grundformeln (Axiomen) und Grundregeln zur Ableitung richtiger Formeln. Als logische Grundformeln wollen wir die folgenden vier einführen: a) XvX-+X. b)X-+XvY. c) XvY-+YvX. d) (X--+ Y)-+[Zv X -+Zv Y]. Das erste Axiom bedeutet, daß eine Aussage richtig ist, wenn die Disjunktion der Aussage mit sich selbst richtig ist. Das zweite Axiom ist nichts anderes als die auf S. 12 erwähnte Regel b2), das dritte postuliert die Kommutativität der Disjunktion und das vierte sagt, daß bei einer richtigen Implikation X--+ Y beide Seiten mit einer beliebigen Aussage Z disjunktiv verknüpft werden dürfen.

Jedoch haben wir nicht 44 Der Klassenkalkül (einstellige Prädikatenkalkül). sämtliche der Aristotelischen Schlußweisen bei unserem Verfahren wiedergefunden. Vielmehr fehlen in der erhaltenen Übersicht die vier Schlußarten: darapti, bamalip, felapton, fesapo. Diese Diskrepanz rührt davon her, daß die seit Aristoteles traditionell gewordene Deutung der positiven allgemeinen Sätze ("Alle A sind B") mit unserer Interpretation der Formeln I X v Y I nicht vollkommen in Einklang steht. Nach Aristoteles gilt nämlich eine Aussage "Alle A sind B" nur dann als richtig, wenn es Gegenstände gibt, welche A sind.

Die allgemeine Regel läßt sich durch mehrfache Anwendung dieser einfachen Regel gewinnen, indem man (/> von innen heraus aufbaut. Für jeden Teilausdruck (/>' von (/> erhält man nämlich sukzessive und (/>' (21) -+cJ>' (58). (/>'(58) -+cJ>' (21) Es seien also 21-+ 58 und 58-+ 21 schon bewiesen. dann: Wir beweisen IX) 21-+lB und ~-+21. Man erhält diese beiden Formeln, indem man zunächst durch Einsetzung in Formel (6) (21- 58)-(~-+ m), und (58-+ 21)-+ (m-+ ~l beweist, und benutzt, daß 21-+58 und 58-+21 schon bewiesen sind.

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