Geometric Aspects of Functional Analysis: Israel Seminar by C. J. Read (auth.), Joram Lindenstrauss, Vitali D. Milman

By C. J. Read (auth.), Joram Lindenstrauss, Vitali D. Milman (eds.)

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0 b) (Scherensatz) Sei IA eine Translationsebene, in der der Satz von Desargues gilt. Gegeben seien Geraden F und G sowie paarweise verschiedene Punkte a, c, a′ , c′ ∈ F \ G und b, d, b′ , d′ ∈ G \ F . Aus a ∨ b a′ ∨ b′ , b ∨ c b′ ∨ c′ und c ∨ d c′ ∨ d′ folgt a ∨ d a′ ∨ d′ . 2. Desargues-Ebenen. Eine Translationsebene IA = (lP, G| ), für die eine (und damit jede) Aussage von Lemma 1 gilt, heißt eine Desargues-Ebene. Proposition. Ist IA = (lP, G| ) eine Desargues-Ebene und sind a, b ∈ lP verschieden, dann gilt (1) a ∨ b = {a + α(b − a) : α ∈ K(IA)}.

Analog hätten τ2 und τ1 ◦ τ2 ◦ τ1−1 , also auch τ2 und (τ1 ◦ τ2 ◦ τ1−1 ) ◦ τ2−1 die gleiche Richtung im Widerspruch zur Annahme. Es folgt τ1 ◦ τ2 ◦ τ1−1 ◦ τ2−1 = id, also τ1 ◦ τ2 = τ2 ◦ τ1 . b) τ1 und τ2 haben die gleiche Richtung. 2 und dem Translations-Axiom gibt es eine Translation τ , so dass τ und τ1 bzw. τ2 verschiedene Richtungen haben. Nach Teil a) gilt τ1 ◦ τ = τ ◦ τ1 und τ2 ◦ τ = τ ◦ τ2 . Hätten τ1 und τ2 ◦ τ die gleiche Richtung, so würden τ2 und τ2 ◦ τ , also τ2 und τ = τ2−1 ◦ (τ2 ◦ τ ) nach Korollar 3 die gleiche Richtung haben.

Damit gilt τ (b) = G ∧ a′ (a ∨ b) = b′ . Analog folgt τ (c) = c′ . Nach 1(2) ist b′ ∨ c′ = τ (b) ∨ τ (c) parallel zu b ∨ c. ✷ 22 I. Grundlagen der Geometrie Bemerkungen. a) Die Behauptung des Satzes, also die Gültigkeit von (3) als Folge von (2) und der angegebenen anderen Voraussetzung, nennt man auch den Kleinen Satz von Desargues. b) Man kann mit einigem Aufwand zeigen, dass die Gültigkeit dieses Kleinen Satzes von Desargues bereits impliziert, dass IA eine Translationsebene ist (vgl. E. 17).

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