Elliptic solutions of the sine-Gordon equation by Smirnov A.O.

By Smirnov A.O.

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4 Grafische Darstellung des absoluten und relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: Fab ( x  k )  f ( x)  p ( x  k ) Absoluter Fehler Absoluter Fehler 4 Fab( x  k) 2 2˜ k  1 10 8 6 4 2 0 3 2 4 6 8 10 4 6 8 10 x Abb. 5 Frel ( x  k )  f ( x)  p ( x  k ) f ( x) ˜ 100 Relativer Fehler in % Relativer Fehler in % Frel( x  1) 4 Frel( x  2) Frel( x  4) 2 10 8 6 4 2 0 x Abb. 6 Seite 28 2 Taylorreihen Der Fehler nimmt bei der Berechnung mithilfe der Taylorreihe mit der Entfernung vom Entwicklungspunkt zu und mit dem Grad des Polynoms ab!

11: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = cos(x) ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. f ( x)  cos ( x) f ( x) = f ( 0)  x0  0 f ' ( 0) 1 ˜x gegebene Funktion und Entwicklungsstelle f '' ( 0) 2 ˜x  2 f ''' ( 0) 3 ˜ x  ....

Cos(x) = sin(x) zur Entwicklung zu verwenden: 2 4 6 3 5 7 § · § a ˜ x  a ˜ x3  a ˜ x5  a ˜ x7· ˜ ¨ 1  x  x  x  .... = x  x  x  x  .... 3 5 7 © 1 ¹ © 2 4 6 ¹ 1 3 5 7 Durch gliedweises Ausmultiplizieren der linken Seite und anschließendem Koeffizientenvergleich entsprechender Potenzen mit der rechten Seite a1 a3 a5 a1 a3 a1 1 1 1 ; a5  ; a7  ; usw. a1 = 1 ; a3  =  =   = 2 2 2 4 4 6 3 5 7 erhalten wir schließlich die Reihe für tan(x). 17: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = arctan(x) ?

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