Éléments de Mathématique: Fonctions d'une variable reelle. by Nicolas Bourbaki

By Nicolas Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce Livre est le quatrième du traité ; il est consacré aux bases de l examine réelle. Il comprend les chapitres: 1. Dérivées; 2. Primitives et intégrales; three. Fonctions élémentaires; four. Équations différentielles; five. Étude locale des fonctions; 6. Développements tayloriens généralisés. 7. Formule sommatoire d Euler-Maclaurin; eight. l. a. functionality gamma.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1976.

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COROLLAIRE 1. - Soit f unefonction convexe (resp. strictement convexe) dans 1;si a et b sont deux points intérieurs à 1 tels que a < b, on a (fig. 3) (resp. 37 Fig. 3 notation. D'autre part, si f est strictement convexe et c tel que a < c < 6, on a, d'après (8) et la prop. 5 COROLLAIRE 2. - Sif est convexe (resp. strictement convexe) dans 1,f,' etfg sont croissantes (resp. strictement croissantes) dans l'intérieur de 1; l'ensemble despoints de 1 où f n'est pas dérivable est dénombrable, etf,' etf,' sont continues en tout point où f est dérivable.

O' x x' L X Fig. 2 Tenant compte de la représentation paramétrique d'un segment (TG, VI, p. 5), la condition pour que f soit convexe dans I est que l'on ait l'inégalité pour tout couple (x, x') de points de I et tout A E (0, 1). La définition 1 est encore équivalente à la suivante: l'ensemble des points de R2 situés au-dessus du graphe G def est convexe. En effet, cette condition est évidemment suffisante pour que f soit convexe dans 1; elle est aussi nécessaire, car si f est convexe dans 1, et si (x, y), (x', y') sont deux points situés au-dessus de 6, on a y 2 f(x),yf >, f(xl),d'où,pourO < A < 1, Ay + (1 - A) y' >, Af (x) + (1 - A) f (x') 2f (Ax + (1 - 1 ) ~ ' ) d'après (l), ce qui montre que tout point du segment d'extrémités (x, y) et (x', y') est au-dessus de G.

Soient d'autre pari E l'ensemble des points x intérieurs à 1où f n'est pas dérivable (c'est-à-dire fi (x) < f,'(x)). Pour tout x E E, soit J, l'intervalle ouvert )f ,'(x), f,'(x)(; il résulte de (8) que si x et y sont deux points de E tels que x < y, on a u < v pour tout u EJ, et tout u E J,; autrement dit, lorsque x parcourt E, les intervalles ouverts non vides J, sont deux à deux sans point commun; l'ensemble de ces intervalles est donc dénombrable, et il en est par suite de même de E. f,') étant croissante, a en tout point x intérieur à I une limite à droite et une limite à gauche; la prop.

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