Einfuhrung in die Mathematische Logik, 3. Auflage by Wolfgang Rautenberg

By Wolfgang Rautenberg

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Ein gerichteter Baum sei ein Paar (E, ) mit irreflexivem ⊆ E 2 , so dass f¨ ur ein gewisses c ∈ E, die Wurzel genannt, Folgendes gilt: c ist mit jedem anderen Punkt a ∈ E durch genau einen Weg verbunden. Dies sei eine Folge (a0 , . . , an ) von Punkten mit a0 = c, an = a und ai ai+1 f¨ ur alle i < n. B. zur Folge, dass zu jedem b ∈ E \ {c} genau ein Vorg¨anger a b in E existiert. h. eine Folge (ck )k∈N derart, dass c0 = c und ck ck+1 . Zum Beweis erkl¨aren wir rekursiv S0 = {c} und Sk+1 = {b ∈ E | es gibt ein a ∈ Sk mit a b}.

B. p, q/p ∧ q. Der Beweis hierf¨ ur ist jedoch weniger einfach als ¨ der Text oder die Ubungen vermuten lassen. Jedes der unendlich vielen Fragmente 2-wertiger Logik mit oder ohne Tautologien ist durch einen Hilbert-Kalk¨ ul mit endlich vielen Hilbert-Regeln der betreffenden Sprache axiomatisierbar wie in [HeR] bewiesen wurde. B. TableauKalk¨ ule in verschiedenen Varianten, die vor allem f¨ ur nichtklassische logische Systeme bedeutsam sind. B. der f¨ ur die Logikprogrammierung und das maschinelle Beweisen wichtige Resolutionskalk¨ ul behandelt.

H. X α, wenn immer X |∼ α. Damit ist (Kor ) bewiesen. Anders als in sind f¨ ur den Vollst¨andigkeitsbeweis von |∼ eine Reihe von Ableitungen auszuf¨ uhren. Dies liegt in der Natur der Sache. Man muss Hilbert-Kalk¨ ule oft durch geduldige Ableitungen erst einmal zum Laufen bringen“. Wir verwenden ” nachfolgend die offenkundige Monotonieeigenschaft X ⊇ X |∼ α ⇒ X |∼ α. Wie ur ∅ |∼ α. 2. (a) X |∼ α → ¬β ⇒ X |∼ β (c) |∼ α → α, (d) → ¬α, |∼ α → ¬¬α, (b) (e) |∼ α → β → α, |∼ β → ¬β → α. Beweis. (a): Sicher ist X |∼ (α → ¬β) → (β → ¬α) nach Axiom Λ4.

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