Büchi’s Monadic Second Order Successor Arithmetic by Dirk Siefkes

By Dirk Siefkes

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D~ max(f. l' and ~ o~ /I SL denote the ~irst ~ resp. t. 3. ' to Corollary ,: There is an e~~ective procedure to decide on validity, on implication, and on equivalence o~ ~o_~ormulae. d d) . "'. (t)] 11 We want to express,~ as a Z:-fo rnru la , too. To understand better the formal construction it is perhaps convenient to give the intuitive background which leads to the abstract definitions. - 1ve have to get information about the complementary subsets Set) S('t) and of Sw. 4 teIls us that, if S(f) is not empty, it contains an ultimately periodic thread 'P.

0l and Y", whereas the trans i tion condi tion resp. final con- Js resp. dition of both of them are ,,<-> Y". Then we can represent the above thread 'f in the form uvvv ••• , where ucT( J. y ) and vcT( t y) for some Y such that f [Y] holds. Clearly, if we replace in Cf the word u by another word ucT(~y) (not necessarily of the same length), the re- f, sulting thread ~ satisfies too. The same holds if we replace v any- where by a word vcT(:{y). 3 shows that in general there is a lot of nrulti-periodic threads satisfying nrulae ~Y and €y i.

The empty set may occur many times. a). t V '" ::. -! :z r"'1,y,Z The lemma ~ollows v ,J>1,y,z7 1\ /:z rJ 2,y,Z v 'V>2,y,zl • by passing to the disjunctive normal ~orm. * Lemma 1 shows that the ~ormulae ~~ satis~y the requirement[l]. For let Cf> Ei uvvv ••• be any ultimately periodic ~-thread. v f and and ~i. g. b). Ve de~ine f'';>i 1'; iid~ u-,ufuiui •• ' 7 0 Then ~or i~ 'f is nml ti-periodic ~rom and i' Cf is equivalent wi th respect to tr to the ultimat~lY periodic thread CP~f Thus we have ~ound a ~inite number - at most l - o~ ultimately periodic threads which any are representatives 1: .

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