Angewandte Mathematik mit Mathcad. Reihen, Transformationen, by Josef Trölß

By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad“, richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

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4 Grafische Darstellung des absoluten und relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: Fab ( x  k )  f ( x)  p ( x  k ) Absoluter Fehler Absoluter Fehler 4 Fab( x  k) 2 2˜ k  1 10 8 6 4 2 0 3 2 4 6 8 10 4 6 8 10 x Abb. 5 Frel ( x  k )  f ( x)  p ( x  k ) f ( x) ˜ 100 Relativer Fehler in % Relativer Fehler in % Frel( x  1) 4 Frel( x  2) Frel( x  4) 2 10 8 6 4 2 0 x Abb. 6 Seite 28 2 Taylorreihen Der Fehler nimmt bei der Berechnung mithilfe der Taylorreihe mit der Entfernung vom Entwicklungspunkt zu und mit dem Grad des Polynoms ab!

11: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = cos(x) ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. f ( x)  cos ( x) f ( x) = f ( 0)  x0  0 f ' ( 0) 1 ˜x gegebene Funktion und Entwicklungsstelle f '' ( 0) 2 ˜x  2 f ''' ( 0) 3 ˜ x  ....

Cos(x) = sin(x) zur Entwicklung zu verwenden: 2 4 6 3 5 7 § · § a ˜ x  a ˜ x3  a ˜ x5  a ˜ x7· ˜ ¨ 1  x  x  x  .... = x  x  x  x  .... 3 5 7 © 1 ¹ © 2 4 6 ¹ 1 3 5 7 Durch gliedweises Ausmultiplizieren der linken Seite und anschließendem Koeffizientenvergleich entsprechender Potenzen mit der rechten Seite a1 a3 a5 a1 a3 a1 1 1 1 ; a5  ; a7  ; usw. a1 = 1 ; a3  =  =   = 2 2 2 4 4 6 3 5 7 erhalten wir schließlich die Reihe für tan(x). 17: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = arctan(x) ?

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