Algebraische Topologie. Eine Einfuhrung, 2. Auflage by Ralph Stocker, Heiner Zieschang

By Ralph Stocker, Heiner Zieschang

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COROLLAIRE 1. - Soit f unefonction convexe (resp. strictement convexe) dans 1;si a et b sont deux points intérieurs à 1 tels que a < b, on a (fig. 3) (resp. 37 Fig. 3 notation. D'autre part, si f est strictement convexe et c tel que a < c < 6, on a, d'après (8) et la prop. 5 COROLLAIRE 2. - Sif est convexe (resp. strictement convexe) dans 1,f,' etfg sont croissantes (resp. strictement croissantes) dans l'intérieur de 1; l'ensemble despoints de 1 où f n'est pas dérivable est dénombrable, etf,' etf,' sont continues en tout point où f est dérivable.

O' x x' L X Fig. 2 Tenant compte de la représentation paramétrique d'un segment (TG, VI, p. 5), la condition pour que f soit convexe dans I est que l'on ait l'inégalité pour tout couple (x, x') de points de I et tout A E (0, 1). La définition 1 est encore équivalente à la suivante: l'ensemble des points de R2 situés au-dessus du graphe G def est convexe. En effet, cette condition est évidemment suffisante pour que f soit convexe dans 1; elle est aussi nécessaire, car si f est convexe dans 1, et si (x, y), (x', y') sont deux points situés au-dessus de 6, on a y 2 f(x),yf >, f(xl),d'où,pourO < A < 1, Ay + (1 - A) y' >, Af (x) + (1 - A) f (x') 2f (Ax + (1 - 1 ) ~ ' ) d'après (l), ce qui montre que tout point du segment d'extrémités (x, y) et (x', y') est au-dessus de G.

Soient d'autre pari E l'ensemble des points x intérieurs à 1où f n'est pas dérivable (c'est-à-dire fi (x) < f,'(x)). Pour tout x E E, soit J, l'intervalle ouvert )f ,'(x), f,'(x)(; il résulte de (8) que si x et y sont deux points de E tels que x < y, on a u < v pour tout u EJ, et tout u E J,; autrement dit, lorsque x parcourt E, les intervalles ouverts non vides J, sont deux à deux sans point commun; l'ensemble de ces intervalles est donc dénombrable, et il en est par suite de même de E. f,') étant croissante, a en tout point x intérieur à I une limite à droite et une limite à gauche; la prop.

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